ملخص الإحصاء لطلاب الثانوية العامة 2026 في 5 ورقات

يبحث الطلاب عن ملخص الإحصاء لطلاب الثانوية العامة 2026، لمراجعة المادة قبل الامتحان المقرر يوم الخميس القادم لطلاب الشعبية الأدبية.

ملخص الإحصاء 3 ثانوي 2026 في 5 ورقات

1. المتغير العشوائي

• المتغير العشوائي: إذا كان $F$ فضاء عينة لتجربة عشوائية، و$R$ مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن: $d$ دالة $d: F \to R$ تسمى متغيراً عشوائياً معرفاً على $F$.

• مدى المتغير العشوائي: هو مجموعة جزئية من $R$ وهي مجموعة القيم المناظرة لعناصر فضاء العينة والتي تحددها دالة المتغير العشوائي.

فضاء العينة (F)	S (عدد الصور)
(ص، ص)	2
(ص، ك)	1
(ك، ص)	1
(ك، ك)	صفر

$$\text{المدى} = \{0, 1, 2\}$$

2. المتغير العشوائي المتقطع

هو المتغير العشوائي الذي مدى مجموعه منتهية أو قابلة للحصر من الأعداد الحقيقية.

من أمثلة ذلك:

1. عدد الأسهم المخصصة للحد الأفراد في اكتتاب شركة مساهمة.

2. عدد الحوادث على إحدى الطرق السريعة خلال شهر.

3. عدد المكالمات الهاتفية الصادرة لأسرة خلال أسبوع.

3. التوزيع الاحتمالي للمتغير المتقطع

إذا كان $S$ متغيراً عشوائياً متقطعاً مداه المجموعة $\{s_1, s_2, \dots, s_n\}$ فإن الدالة $d$ حيث $d(s_r) = P(S = s_r)$ لكل $r = 1, 2, 3, \dots, n$ تحدد ما يسمى بالتوزيع الاحتمالي للمتغير المتقطع $S$.

وهذه الدالة تحقّق الشرطين الآتيين:

1. $d(s_r) \ge 0$ لكل $r = 1, 2, 3, \dots, n$

2. $d(s_1) + d(s_2) + \dots + d(s_n) = 1$ أو $\sum d(s_r) = 1$

لاحظ أن: أي دالة تحقق الشرطين السابقين تصلح أن تكون توزيعاً احتمالياً لمتغير عشوائي متقطع.

4. المفاهيم والمقاييس الاحصائية

• المتوسط أو التوقع ($\mu$): هو أحد مقاييس النزعة المركزية وهو القيمة التي تتمركز حولها معظم قيم المتغير العشوائي.

• التباين ($\sigma^2$): هو أحد مقاييس التشتت وهو يقيس مدى تشتت قيم المتغير العشوائي حول متوسطها.

• الانحراف المعياري ($\sigma$): هو أحد مقاييس التشتت ويتميز بأنه يقاس بنفس وحدات المتغير العشوائي ويصلح للمقارنة بين مجموعتين لهما نفس الوحدات ونفس المتوسط، ويساوي الجذر التربيعي الموجب للتباين.

• معامل الاختلاف: هو مقياس نسبي للتشتت لا يتأثر باختلاف الوحدات أو اختلاف المتوسط.

5. حساب المتوسط، التوقّع، التباين والانحراف المعياري

1. $\mu = \sum s_r \cdot d(s_r) =$ العمود الثالث

2. $\sigma^2 = \sum s_r^2 \cdot d(s_r) - \mu^2 =$ العمود الرابع - (الثالث)$^2$

3. الانحراف المعياري ($\sigma$): $\sigma = \sqrt{\text{التباين}} \implies \text{الانحراف المعياري } (\sigma) = \sqrt{\sigma^2}$

4. معامل الاختلاف:

   $$\text{معامل الاختلاف} = \frac{\text{الانحراف المعياري}}{\text{المتوسط}} \times 100\% = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$$

6. جدول حساب المتوسط والتباين والانحراف المعياري

نكون جدولاً بالشكل الآتي:

sr​	d(sr​)	sr​⋅d(sr​)	sr2​⋅d(sr​)
المجموع	$1$	$\sum s_r \cdot d(s_r)$	$\sum s_r^2 \cdot d(s_r)$

• التباين والانحراف يكون عدداً موجباً، بينما المتوسط يكون موجباً أو سالباً أو صفر حسب قيم المتغير العشوائي.

7. تجربة برنولي وتكرارها

• تجربة برنولي: هي تجربة عشوائية لها ناتجين فقط [ناجح أو فاشل] ويكون:

  $$\text{احتمال النجاح} + \text{احتمال الفشل} = 1$$

• التجربة الاحتمالية الهندسية: عدد من المرات المستقلة حتى الوصول إلى أول نجاح.

• التجربة الاحتمالية ذي الحدين: عدد محدود من المرات المستقلة لأي عدد من مرات النجاح.

8. مقارنة بين التوزيع الاحتمالي الهندسي والتوزيع ذي الحدين

التوزيع الاحتمالي الهندسي

• الرمز: هندسي ($P$) حيث $P$ هي احتمال النجاح.

• يمكن أن تحتوي على عدد لا نهائي من المحاولات.

• تتوقف المحاولات عند الحصول على أول نجاح.

• يظهر حدث النجاح مرة واحدة فقط.

• تُكتب دالة التوزيع الاحتمالي الهندسي على صورة:

  $$P(S = r) = P(1 - P)^{r-1}$$

  حيث $r = 1, 2, 3, \dots$

• المتوسط: $\mu = \frac{1}{P}$

• التباين: $\sigma^2 = \frac{1-P}{P^2}$

التوزيع ذي الحدين

• الرمز: حدين ($n, P$) حيث $n$ عدد المحاولات، و$P$ احتمال النجاح.

• تحتوي على عدد محدد من المحاولات يرمز له بالرمز ($n$).

• تتوقف المحاولات بعد عدد $n$ من المحاولات.

• قد يظهر النجاح أكثر من مرة أو قد لا يظهر على الإطلاق.

• تُكتب دالة التوزيع ذي الحدين على صورة:

  $$P(S = r) = \binom{n}{r} P^r (1 - P)^{n-r}$$

  حيث $r = 0, 1, 2, \dots, n$

• المتوسط: $\mu = n \cdot P$

• التباين: $\sigma^2 = n \cdot P (1 - P)$

10. التوزيع الطبيعي

1. المنحنى متصل ويرسم بأكمله فوق محور السينات ومساحة المنطقة الواقعة اسفل المنحنى وفوق محور السينات تساوي الواحد الصحيح.

2. المنحنى متماثل بالنسبة للمستقيم $s = \mu$.

3. إذ أن المستقيم $s = \mu$ يقسم المساحة اسفل المنحنى وفوق محور السينات الى قسمين متساويين في المساحة ومساحة كل منهما = $\frac{1}{2}$.

4. الدالة التي يمثلها تتزايد في الفترة $(-\infty, \mu]$ وتتناقص في الفترة $[\mu, \infty)$.

5. المنحنى له قمة واحدة واحدة عند $s = \mu$.

6. يمتد طرفا المنحنى إلى ما لا نهاية حيث يقتربان من المحور السيني دون أن يقطعا.

​​​​​​​