حل امتحان جبر لغات للصف الثالث الإعدادي القاهرة 2026 الترم الثاني

يقدم موقع «شبابيك» لطلاب الشهادة الإعدادية المطبوعات الرسمية لنموذج حل امتحان جبر لغات الصف الثالث الإعدادي القاهرة 2026 الترم الثانيز

 وذلك لمساعدتهم في مراجعة وتدقيق إجاباتهم بعد نهاية ماراثون اللجان مباشرة، لاسيما في ظل تباين آراء الطلاب حول مستوى النقاط الاختيارية التي تضمنتها ورقة الأسئلة اليوم.

حيث يحرص أولياء الأمور والطلاب بمدارس اللغات (التجريبية والمتميزة) على مطابقة الحلول لحساب الدرجات المتوقعة في المادة، لضمان تخطي عقبة الترم الثاني الذي يمثل الجزء الأكبر والمصيري من المجموع التراكمي النهائي.

إجابات Algebra لثالثة إعدادي بالقاهرة الترم الثاني 2026

شهدت أسئلة مادة الرياضيات فرع الجبر والإحصاء لطلاب اللغات مرونة واضحة، حيث ركزت الورقة الامتحانية على قياس مهارات التفكير العليا ومهارات حل المعادلات المعتادة.

واشتمل الاختبار على خمسة أسئلة رئيسية تنوعت بين اختيار من متعدد وأسئلة مقالية تناولت المقادير الجبرية واحتمالات الأحداث والعمليات على الكسور الجبرية.

1. If (2,1) is one solution of the equation 2x + ay = 6, then the value of a = ..........
   بما أن النقطة (2,1) هي أحد الحلول، إذن نعوض عن x بالرقم 2، ونعوض عن y بالرقم 1 في المعادلة:
   2(2) + a(1) = 6
   4 + a = 6
   a = 6 - 4
   a = 2
   الإجابة الصحيحة هي: a) 2
2. The point of intersection of the two straight Lines y - 1 = 0 , x + 1 = 0 is ...................
   من المعادلة الأولى:
   y - 1 = 0
   y = 1

من المعادلة الثانية:
x + 1 = 0
x = -1

نقطة التقاطع هي الزوج المرتب (x, y) أي: (-1,1)
الإجابة الصحيحة هي: b) (-1,1)

1. If (m^2 - 1) is the additive inverse of the number (-3) then the value of m = .........
   المعكوس الجمعي للعدد (-3) هو العدد 3.
   إذن نساوي التعبير بالرقم 3:
   m^2 - 1 = 3
   m^2 = 3 + 1
   m^2 = 4
   بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
   m = ±2
   الإجابة الصحيحة هي: c) ±2

Second: Find the solution set of the equation, using the general rule: 3x^2 - 5x + 1 = 0 , x ∈ R (to nearest two decimal places)

المعادلة هي: 3x^2 - 5x + 1 = 0
نستخرج المعاملات:
a = 3
b = -5
c = 1

نكتب القانون العام:
x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

نعوض بالقيم داخل القانون:
x = [-(-5) ± √((-5)^2 - 4 * 3 * 1)] / (2 * 3)
x = [5 ± √(25 - 12)] / 6
x = [5 ± √13] / 6

إذن لدينا حلان:
الحل الأول:
x1 = (5 + √13) / 6 ≈ (5 + 3.6055) / 6 ≈ 8.6055 / 6 ≈ 1.434
بتقريبه لأقرب رقمين عشريين يصبح: 1.43

الحل الثاني:
x2 = (5 - √13) / 6 ≈ (5 - 3.6055) / 6 ≈ 1.3945 / 6 ≈ 0.232
بتقريبه لأقرب رقمين عشريين يصبح: 0.23

إذن مجموعة الحل Solution Set هي: {1.43, 0.23}

1. The simplest form of n(x) = (3x - 6) / (2 - x) is ..........
   نأخذ الرقم 3 كعامل مشترك من البسط:
   3x - 6 = 3(x - 2)
   نلاحظ أن المقام هو (2 - x)، ولكي نجعله يشبه البسط نأخذ إشارة سالب عامل مشترك:
   2 - x = -(x - 2)
   الآن نكتب الدالة في شكلها الجديد:
   n(x) = [3(x - 2)] / [-(x - 2)]
   نختصر القوس (x - 2) من البسط والمقام:
   n(x) = 3 / -1 = -3
   الإجابة الصحيحة هي: d) -3
2. The algebraic fraction: n(x) = (x - 3) / (x - 4) has multiplicative inverse in the domain ....................
   المجال الذي يوجد فيه معكوس ضربي للدالة الكسرية هو ح (R) فرق مجموعة أصفار البسط والمقام معاً.
   أصفار البسط: x - 3 = 0 ومنها x = 3
   أصفار المقام: x - 4 = 0 ومنها x = 4
   إذن المجال هو: R - {3, 4}
   الإجابة الصحيحة هي: c) R - {3, 4}
3. If a fair die is thrown once and observe the number on the upper face, then the probability of appearance of a number less than 3 is ..........
   فضاء العينة لحجر النرد العادل هو: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} وعدده يساوي 6.
   الأعداد الأقل من 3 في حجر النرد هي: {1, 2} وعددها يساوي 2.
   الاحتمال المطلوب = عدد الأعداد الأقل من 3 تقسيم العدد الكلي لفضاء العينة
   الاحتمال = 2 / 6 = 1 / 3
   الإجابة الصحيحة هي: b) 1/3

Second: If n1(x) = 4x / (4x + 16) , n2(x) = (x^2 + 4x) / (x^2 + 8x + 16) prove that: n1 = n2

لكي نثبت أن n1 = n2، يجب أن نثبت أن الاختصار متساوٍ والمجال متساوٍ لكلا الدالتين.

أولاً بالنسبة للدالة الأولى n1(x):
n1(x) = 4x / (4x + 16)
نأخذ الرقم 4 كعامل مشترك من المقام:
n1(x) = 4x / [4(x + 4)]
مجال الدالة الأولى (Domain of n1) = R - {أصفار المقام}
Domain of n1 = R - {-4}
الآن نختصر الرقم 4 من البسط والمقام:
n1(x) = x / (x + 4)

ثانياً بالنسبة للدالة الثانية n2(x):
n2(x) = (x^2 + 4x) / (x^2 + 8x + 16)
نأخذ x كعامل مشترك من البسط، ونقوم بتحليل المقام كمربع كامل أو قوسين متماثلين:
البسط: x(x + 4)
المقام: (x + 4)(x + 4)
إذن: n2(x) = [x(x + 4)] / [(x + 4)(x + 4)]
مجال الدالة الثانية (Domain of n2) = R - {أصفار المقام}
Domain of n2 = R - {-4}
الآن نختصر القوس (x + 4) من البسط مع أحد الأقواس في المقام:
n2(x) = x / (x + 4)

الخلاصة:
بما أن Domain of n1 = Domain of n2 = R - {-4}
وبما أن الاختصار النهائي n1(x) = n2(x) = x / (x + 4)
إذن: n1 = n2

1. The set of zeroes of algebraic fraction: n(x) = (x + 4) / (x + 5) is .............
   مجموعة أصفار الدالة الكسرية تساوي أصفار البسط فرق أصفار المقام.
   أصفار البسط: x + 4 = 0 ومنها x = -4
   أصفار المقام: x + 5 = 0 ومنها x = -5
   إذن أصفار الدالة هي: {-4} - {-5} = {-4}
   الإجابة الصحيحة هي: b) {-4}
2. The common domain of the two algebraic fractions: n(x) = x / (x^2 + 1) , n(x) = (x + 3) / x is .............
   المجال المشترك يساوي ح (R) فرق مجموعة أصفار مقامات الدالتين معاً.
   مقام الدالة الأولى: x^2 + 1 = 0 (ليس له أصفار في الأعداد الحقيقية لأن المربع دائماً موجب).
   مقام الدالة الثانية: x = 0 (أصفار المقام هي {0}).
   إذن المجال المشترك هو: R - {0}
   الإجابة الصحيحة هي: d) R - {0}
3. If 1/2 x = 4 ,then the value of: ³√x = ............
   من المعطيات: 1/2 x = 4
   بالضرب في 2 للطرفين للتخلص من الكسر:
   x = 4 * 2
   x = 8
   الآن نوجد الجذر التكعيبي للعدد 8:
   ³√8 = 2
   الإجابة الصحيحة هي: a) 2

Second: Find in R × R the solution set of the following equations: x - y = 0 , x^2 + xy = 18

من المعادلة الأولى (معادلة الدرجة الأولى):
x - y = 0
ننقل y للطرف الآخر بإشارة مخالفة:
x = y (وهذه هي المعادلة رقم 1)

نعوض عن كل x بالقيمة y في المعادلة الثانية (معادلة الدرجة الثانية):
x^2 + xy = 18
(y)^2 + (y)(y) = 18
y^2 + y^2 = 18
نجمع الحدود المتشابهة:
2y^2 = 18
بقسمة الطرفين على 2:
y^2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
y = 3 أو y = -3

الآن نوجد قيم x بالتعويض في المعادلة رقم 1 (بما أن x = y):
عندما تكون y = 3 فإن x = 3، والزوج المرتب هو (3, 3)
عندما تكون y = -3 فإن x = -3، والزوج المرتب هو (-3, -3)

إذن مجموعة الحل Solution Set في R × R هي:
{(3, 3), (-3, -3)}

The Fifth question
First: Find in R × R the solution set of the following equations (algebraically): 3x + y = 12 , x - 2y = 4

لدينا المعادلتين:

1. 3x + y = 12
2. x - 2y = 4

نستخدم طريقة الحذف، بضرب المعادلة الأولى في الرقم 2 لتساوي معاملات y:
2 * (3x + y) = 2 * 12
6x + 2y = 24 (نسميها المعادلة رقم 3)

الآن بجمع المعادلة رقم 2 مع المعادلة رقم 3 لحذف y:
(x - 2y) + (6x + 2y) = 4 + 24
7x = 28
بقسمة الطرفين على 7:
x = 28 / 7
x = 4

نعوض بقيمة x = 4 في المعادلة الأولى الأصلية لإيجاد قيم y:
3(4) + y = 12
12 + y = 12
y = 12 - 12
y = 0

إذن مجموعة الحل Solution Set في R × R هي:
{(4, 0)}

Second: Find n(x) in the simplest form and find the domain: n(x) = x^2 / (x^2 + 2x) + (2x - 4) / (x^2 - 4

الخطوة الأولى هي تحليل بسط ومقام كل كسر:

الكسر الأول:
البسط يظل كما هو: x^2
المقام نأخذ منه x كعامل مشترك: x(x + 2)

الكسر الثاني:
البسط نأخذ منه 2 كعامل مشترك: 2(x - 2)
المقام يمثل فرقاً بين مربعين ويحلل إلى قوسين: (x - 2)(x + 2)

نكتب الدالة بعد التحليل وقبل الاختصار:
n(x) = [x^2 / x(x + 2)] + [2(x - 2) / (x - 2)(x + 2)]

الآن نوجد مجال الدالة (Domain) وهو ح (R) فرق مجموعة أصفار المقامات:
من المقام الأول نجد الأصفار هي: 0 و -2
من المقام الثاني نجد الأصفار هي: 2 و -2
إذن المجال المشترك هو:
Domain = R - {0, -2, 2}

الآن نختصر العوامل المشتركة في كل كسر على حدة:
الكسر الأول: نختصر x من البسط مع x من المقام ليصبح: x / (x + 2)
الكسر الثاني: نختصر القوس (x - 2) من البسط مع القوس (x - 2) من المقام ليصبح: 2 / (x + 2)

نكتب الدالة في صورتها المبسطة ونجمع الكسرين:
n(x) = x / (x + 2) + 2 / (x + 2)
بما أن المقامات موحدة وثابتة وهي (x + 2)، نجمع البسطين معاً:
n(x) = (x + 2) / (x + 2)
أي قيمة مقسومة على نفسها تساوي 1.
إذن الدالة في أبسط صورة هي:
n(x) = 1

First: Find n(x) in the simplest form, showing its domain: n(x) = (x^2 - 3x + 2) / (x^2 - 1) ÷ (x - 5) / (x^2 - 4x - 5)

الخطوة الأولى هي تحليل بسط ومقام كل كسر من الكسرين:

الكسر الأول:
البسط مقدار ثلاثي يحلل إلى قوسين: (x - 1)(x - 2)
المقام فرق بين مربعين يحلل إلى قوسين: (x - 1)(x + 1)

الكسر الثاني:
البسط يظل كما هو: x - 5
المقام مقدار ثلاثي يحلل إلى قوسين: (x - 5)(x + 1)

نعيد كتابة الدالة بالتحليل وقبل إجراء عملية القسمة:
n(x) = [(x - 1)(x - 2) / (x - 1)(x + 1)] ÷ [(x - 5) / (x - 5)(x + 1)]

الآن نوجد مجال دالة القسمة (Domain)، وهو يساوي ح (R) فرق مجموعة أصفار مقام الكسر الأول وبسط ومقام الكسر الثاني معاً:
من مقام الكسر الأول: 1 و -1
من بسط الكسر الثاني: 5
من مقام الكسر الثاني: 5 و -1
إذن المجال هو:
Domain = R - {1, -1, 5}

الآن نقوم بتحويل عملية القسمة (÷) إلى ضرب (×) مع قلب الكسر الثاني (جعل البسط مقاماً والمقام بسطاً):
n(x) = [(x - 1)(x - 2) / (x - 1)(x + 1)] * [(x - 5)(x + 1) / (x - 5)]

الآن نختصر الأقواس المتشابهة من البسط والمقام في التعبير كاملاً:
نختصر (x - 1) من البسط والمقام للكسر الأول.
نختصر (x - 5) من البسط والمقام للكسر الثاني.
نختصر (x + 1) الموجود في بسط الكسر الثاني مع (x + 1) الموجود في مقام الكسر الأول.

يتبقى لدينا في البسط فقط القوس (x - 2) وفي المقام الرقم 1.
إذن الدالة في أبسط صورة هي:
n(x) = x - 2

Second: If A & B are the two events from the sample space of a random experiment, P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 and P(A ∩ B) = 0.3 find:

المعطيات المتوفرة لدينا:
P(A) = 0.6
P(B) = 0.5
P(A ∩ B) = 0.3

المطلوب إيجاده:

a) P(A ∪ B)
نستخدم قانون الاتحاد:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 - 0.3
P(A ∪ B) = 1.1 - 0.3
P(A ∪ B) = 0.8

b) P(A')
نستخدم قانون الحدث المكمل:
P(A') = 1 - P(A)
P(A') = 1 - 0.6
P(A') = 0.4

c) P(B - A)
نستخدم قانون الفرق:
P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B)
P(B - A) = 0.5 - 0.3
P(B - A) = 0.2

​​​​​​​